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Dimensionamento membri in cemento armato

Per testare il dimensionamento dei membri, consideriamo la trave rettangolare in cemento armato rappresentata qui sotto.

RC design

Si tratta di una trave di 10 m di lunghezza semplicemente appoggiata su due carichi puntiformi posizionati a 1 m di distanza dai supporti.

Le caratteristiche della sezione trasversale sono riportate nella seguente tabella.

DESCRIZIONESIMBOLOVALOREUM
Larghezza complessiva di una sezione trasversale\(b\)\(\)30,0cm
Altezza\(h\)\(\)70,0cm
Copriferro inferiore\(c\)\(\)50mm
Copriferro superiore\(c’\)\(\)50mm
Profondità effettiva della sezione trasversale\(d\)\(h-c\)65,0cm
\(z_S\)\(h-c-c’\)60,0cm
\(z_{s1}\)\(h/2-c\)60,0cm
\(z_{s2}\)\(h/2-c’\)60,0cm

Puoi anche trovare il modello in WeStatiX o imparare a costruirlo grazie al nostro tutorial.


RISULTATI

A questo punto, osserva attentamente i risultati: puoi esaminarli per ogni combinazione di carico e per ogni caso di progettazione di un membro in cemento armato. Essi saranno la combinazione lineare dei seguenti diagrammi.

Momento flettente
Sforzo normale
Forza di taglio

Come puoi vedere, il membro 2 non è mai soggetto alla forza di taglio. La progettazione della sezione della trave in cemento armato viene quindi eseguita solo per questo elemento per i sei casi indicati in tabella.

CASEABCDEF
Momento flettente [kNm] \(M_{Ed}\) 500150010001000400300
Forza assiale [kN] \(N_{Ed} \) 001000180020002000

In questo caso ci concentriamo sui risultati di progettazione dei membri RC e li confrontiamo con ciò che possiamo ottenere seguendo le linee guida della norma EN1992-1-1. [1]

I parametri del materiale sono elencati nella tabella sottostante.

DESCRIZIONESIMBOLOFormulaVALOREUM
Resistenza caratteristica del cilindro di compressione del cemento a 28 giorni\(f_{ck}\)\(\)25.000kPa
Resistenza caratteristica di snervamento del rinforzo\(f_{yk}\)\(\)420.000kPa
Coefficiente per effetti a lungo termine\(\alpha_{cc}\)\(\)1,00
Coefficiente di sicurezza per calcestruzzo\(\gamma_c\)\(\)1,50
Coefficiente di sicurezza per l’acciaio di armatura o precompresso\(\gamma_s\)\(\)1,15
Valore di progetto della resistenza a compressione del cemento\(f_{cd}\)\(\alpha_{cc} f_{ck}/\gamma_c\)16.670kPa
Valore di progetto per la resistenza allo snervamento dell’armatura\(f_{yd}\)\(f_{yk}/\gamma_{s}\)365.220kPa


Nei grafici si possono osservare i rapporti sforzo-deformazione per il cemento e per l’acciaio d’armatura.

Parabola-rectangle diagram for concrete under compression
Diagramma parabolico ad angolo retto per cemento sotto compressione
Stress-strain diagram for reinforcing steel
Diagramma sforzo-deformazione per l’acciaio d’armatura.


Dati i parametri del materiale e le caratteristiche della sezione si possono calcolare i seguenti parametri.

\(x_{lim}\)\(\frac{700 \cdot d}{f_{yd [MPa]}+700}\)42,71cm
\(F_{cd,lim}\)\(0,8095 \cdot x_{lim} \cdot b \cdot f_{cd}\)1.728,86kN

Essi consentono di definire le varie condizioni di stress sulle sezioni trasversali.


CASO A

Nel primo caso, la parte centrale della trave è sottoposta a condizioni di flessione pura.

Momento flettente\(M_{Ed}\)\(\)500kNm
Forza assiale\(N_{Ed}\)\(\)0kN


Per calcolare l’area di rinforzo è necessario calcolare il seguente parametro, come descritto in [1].

Conditions in a singly reinforced section at the ultimate limit state
Condizioni in una sezione rinforzata singolarmente allo stato limite ultimo
DESCRIZIONESIMBOLOFormulaVALOREUM
\(M_{S1}\)\(M_{s1} =M_{Ed}\)500kNm
Profondità dell’asse neutro\(x\)\(1,202\left(d-\sqrt{d^2-\frac{2,055 \cdot M_{s1}}{b\cdot f_{cd}}}\right)\)22,1cm
\(x<x_{lim}\)
\(F_{cd}\)\(0,8095 \cdot x \cdot b \cdot f_{cd}\)895,99kN
\(M_{cd1}\)\(F_{cd}\cdot(d-0,4160x)\)499,88kNm


In questo caso la trave è rinforzata da un solo lato e si può calcolare facilmente la soluzione per la sezione trasversale dell’acciaio di armatura.

ANALITICOWSXERRORE
Sezione trasversale dell’armatura (inferiore) [cm^2]\(A_{s1}’\)\(\frac{F_{cd}-N}{f_{yd}}\)24,5324,540,04%


I risultati per la progettazione del membro in cemento armato sono mostrati nella figura seguente.

Corrisponde perfettamente ai risultati che abbiamo ottenuto seguendo lo standard.


CASO B

Come nel caso A la forza assiale è nulla, ma il momento flettente è maggiore.

Momento flettente\(M_{Ed}\)\(\)1500kNm
Forza assiale\(N_{Ed}\)\(\)0kN

Questo conduce al seguente calcolo.

DESCRIZIONESIMBOLOFormulaVALOREUM
\(M_{S1}\)\(M_{s1} =M_{Ed}\)1500kNm
Profondità dell’asse neutro\(x\)\(1,202\left(d-\sqrt{d^2-\frac{2,055 \cdot M_{s1}}{b\cdot f_{cd}}}\right)\)cm
\(\sqrt{\cdot}<0\)
Profondità dell’asse neutro\(x\)\(x=x_{lim}\)42,71cm
\(F_{cd}\)\(0,8095 \cdot x \cdot b \cdot f_{cd}\)1.728,86kN

Data la maggiore entità del momento flettente, in questo caso sarà necessaria un’ area di rinforzo anche sulla parte superiore della sezione trasversale. È possibile calcolare l’area della sezione trasversale per l’armatura inferiore e superiore e confrontarla con i risultati di WeStatiX.

ANALITICO WSXERRORE
Sezione trasversale dell’armatura (inferiore) [cm^2]\(A_{s1}\)\(\frac{F_{cd}+A_{s2} \cdot f_{yd}-N}{f_{yd}}\)78,5378,530,00%
Sezione trasversale dell’armatura (superiore) [cm^2]\(A_{s2}\)\(\frac{M_{s1}-M_{cd1}}{f_{yd}\cdot z_s}\)31,1931,190,00%


Come potete vedere, le due soluzioni combaciano.

RC design reinforcement
ULS rinforzo inferiore Z
RC design reinforcement
ULS rinforzo superiore Z


CASO C

In questo caso lo sforzo della sezione trasversale dipende dal momento flettente, ma anche dalla forza assiale.

Momento flettente\(M_{Ed}\)\(\)1000kNm
Forza assiale\(N_{Ed}\)\(\)1000kN


Per calcolare l’area di rinforzo, è necessario calcolare i parametri visualizzati nella tabella.

DESCRIZIONESIMBOLOFormulaVALOREUM
\(M_{S1}\)\(M_{s1} =M_{Ed}+N_{Ed}\cdot z_{s1}\)1300kNm
Profondità dell’asse neutro\(x\)\(1,202\left(d-\sqrt{d^2-\frac{2,055 \cdot M_{s1}}{b\cdot f_{cd}}}\right)\)cm
\(\sqrt{\cdot}<0\)
Profondità dell’asse neutro\(x\)\(x=x_{lim}\)42,71cm
\(F_{cd}\)\(0,8095 \cdot x \cdot b \cdot f_{cd}\)1.728,86kN


Ora, come nel caso precedente, è possibile calcolare le aree di rinforzo e confrontarle con i risultati numerici.

ANALITICO WSXERRORE
Sezione trasversale dell’armatura (inferiore) [cm^2]\(A_{s1}\)\(\frac{F_{cd}+A_{s2} \cdot f_{yd}-N}{f_{yd}}\)42,0242,010,02%
Sezione trasversale dell’armatura (superiore) [cm^2]\(A_{s2}\)\(\frac{M_{s1}-M_{cd1}}{f_{yd}\cdot z_s}\)22,0622,050,05%

Anche in questo caso si verifica la soluzione WeStatiX per la progettazione di una trave in cemento armato.


CASO D

Ora guardiamo lo stato di carico quando si aumenta la forza assiale.

Momento flettente\(M_{Ed}\)\(\)1000kNm
Forza assiale\(N_{Ed}\)\(\)1800kN

A differenza del caso precedente la forza di compressione \(N > F_{cd,lim} \)


Anche in questo caso, calcolare i seguenti parametri.

DESCRIZIONESIMBOLOFormulaVALOREUM
\(M_{S1}\)\(M_{Ed}+N_{Ed}\cdot z_{s1}\)1540kNm
\(M_{S2}\)\(M_{s2} =M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s2}\)460kNm
Profondità dell’asse neutro\(x\)\(1,202\left(c’-\sqrt{c’^2-\frac{2,055 \cdot M_{s1}}{b\cdot f_{cd}}}\right)\)cm
\(\sqrt{\cdot}<0\)
Profondità dell’asse neutro\(x\)\(x=x_{lim}\)42,71cm
\(F_{cd}\)\(0,8095 \cdot x \cdot b \cdot f_{cd}\)1.728,86kN


E infine, calcolare le sezioni trasversali per il rinforzo.

ANALITICOWSXERRORE
Sezione trasversale dell’armatura (inferiore) [cm^2]\(A_{s1}\)\(\frac{F_{cd}+A_{s2} \cdot f_{yd}-N}{f_{yd}}\)31,0631,070,03%
Sezione trasversale dell’armatura (superiore) [cm^2]\(A_{s2}\)\(\frac{M{s1}-M_{cd1}}{f_{yd}\cdot z_s}\)33,0133,010,00%

Se lo si confronta con il risultato di WeStatiX del modello per la progettazione di travi in cemento armato, si può notare che i valori sono gli stessi.


CASO E

Ora si riduce il momento flettente.

Momento flettente\(M_{Ed}\)\(\)400kNm
Forza assiale\(N_{Ed}\)\(\)2000kN

Per definire lo stato di carico, definire i parametri elencati nella tabella.

DESCRIZIONESIMBOLOFormulaVALOREUM
\(M_{S1}\)\(M_{Ed}+N_{Ed}\cdot z_{s1}\)1000kNm
\(M_{S2}\)\(M_{s2} =M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s2}\)-200kNm
Profondità dell’asse neutro\(x\)\(1,202\left(c’-\sqrt{c’^2-\frac{2,055 \cdot M_{s1}}{b\cdot f_{cd}}}\right)\)41,0cm
\(x<x_{lim}\)
Profondità dell’asse neutro\(x\)\(x=x_{lim}\)42,7cm
\(F_{cd}\)\(0,8095 \cdot x \cdot b \cdot f_{cd}\)1.728,86kN

È ancora necessaria un’area di rinforzo sia nella parte superiore che in quella inferiore della sezione. Si calcola nel modo seguente.

ANALITICOWSXERRORE
Sezione trasversale dell’armatura (inferiore) [cm^2]\(A_{s1}\)\(\frac{F_{cd}+A_{s2} \cdot f_{yd}-N}{f_{yd}}\)0,950,950,00%
Sezione trasversale dell’armatura (superiore) [cm^2]\(A_{s2}\)\(\frac{M{s1}-M_{cd1}}{f_{yd}\cdot z_s}\)8,378,370,00%

Anche in questo caso le due soluzioni coincidono perfettamente.


CASO F

Come si può leggere nella seguente tabella, rispetto al CASO D con la stessa forza assiale, il momento flettente è minore.

Momento flettente\(M_{Ed}\)\(\)300kNm
Forza assiale\(N_{Ed}\)\(\)2000kN

Quando si calcola il seguente parametro, si può notare che, come applicato ai casi precedenti, la profondità dell’asse neutro è maggiore di \(x_{lim}\)

DESCRIZIONESIMBOLOFormulaVALOREUM
\(M_{S1}\)\(M_{Ed}+N_{Ed}\cdot z_{s1}\)900kNm
\(M_{S2}\)\(M_{s2} =M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s2}\)-300kNm
Profondità dell’asse neutro\(x\)\(1,202\left(c’-\sqrt{c’^2-\frac{2,055 \cdot M_{s1}}{b\cdot f_{cd}}}\right)\)48,6cm
\(x>x_{lim}; x<h\)
\(F_{cd}\)\(0,8095 \cdot x \cdot b \cdot f_{cd}\)1.968,82kN

Ciò implica che è necessaria solo l’area di armatura superiore.

ANALITICO
WSXERRORE
Sezione trasversale dell’armatura (superiore) [cm^2]\(A_{s2}’\)\(\frac{N-F_{cd}}{f_{yd}}\)0,850,850,00%

Anche in questo caso, i risultati di WeStatiX corrispondono a quelli analitici.


[1] Skriptum zur Vorlesung BETONBAU 1 nach EC 1992-1-1, Technische Universität Wien, Institut für Tragkonstruktionen – Herausgegeben von Prof. Dr.-Ing. Johann KOLLEGER